Fermat’nın Son Teoremi

Fransız matematikçi Pierre de Fermat (piyer dö ferma)’nın 17. yüzyılda (1637) öne sürdüğü fakat kanıtı ancak 1994 yılında İngiliz matematikçi Andrew Wiles tarafından verilen teoremdir.

Fermat, hayatı boyunca kitap yazmaz. Matematikçilerle fazla görüşmez. Kurduğu teoremlerin hiçbirinin ispatını yapmaz, başkalarının bulması için bıraktığını söyler. Gerçekten de teoremleri, sonradan farklı bilim adamları tarafından ispatlanırlar.

Ölümünden sonra, bulduğu teoremlerin unutulmasına sevdiklerinin gönlü razı gelmez. Fermat’ın vasiyeti var mıdır bilinmez ama, geride bıraktıkları oğlu tarafından derlenir toplanır (Hepsi hepsi bir sayfa yazısı ve kitaplara iliştirilmiş kısa notları vardır) ve kitap haline getirilir. Kurduğu pek çok teorem olmasına rağmen, bu kadar tanınmasındaki en önemli sebep belki de Son Teoremi olmuştur.

Fermat, Diophantus’un Arithmetica kitabında pisagor üçgenlerinin anlatıldığı bir sayfayı okurken sayfanın yanına “aⁿ + bⁿ = cⁿ eşitliğinin 2′den büyük n değerleri için geçersiz olduğunu not düşer ve altına bir de not iliştirir:

“… Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet!”

Yani: “Bu teoremin müthiş bir ispatını buldum ama burada yazacak kadar yer yok!”

Teoremin ortaokul matematik bilgileriyle anlaşılacak kadar yalın olmasına karşılık öne sürülmesiyle kanıtlanması arasında geçen çok uzun sürede pek çok ünlü matematikçi tarafından üzerinde uğraşılıp da kanıtlanamamış olmasıyla matematik tarihinde öne çıkmıştır.

İfadenin n=1 ve n=2 durumlarında kolayca sağlanabileceğini görmek zor değildir. Biraz açmak gerekirse, n=2 durumu ünlü Pisagor Teoremi ile yakından ilişkili olup x=3, y=4, z=5 veya x=5, y=12, z=13 tam sayı üçlüleriyle kolayca sağlanır.

Bu sanının (artık teorem demek gerekiyor elbette) kanıtı için pek çok matematikçi uğraşmış ancak başarısız olmuşlardır. Ancak yakın tarihlere kadar çok büyük n değerleri için bu sanının doğrulanmasına devam edilmiştir. Bu tür kısmi ilerlemelere yönelik çabalar, hiç beklenmedik bir zamanda İngiliz matematikçi Andrew Wiles’ın bir kanıt bulduğunu duyurmasıyla son bulmuştur. Ne var ki kısa sürede Andrew Wiles’ın kanıtında bir hata bulunmuş ve Andrew Wiles uzun ve yorucu bir çabanın sonunda 1994 yılında uzmanlarca doğruluğu kabul gören bir kanıt vermeyi başarmıştır. Aslında Wiles’ın kanıtı Fermat’nın son teoreminden daha güçlü bir ifadenin, Şimura-Taniyama Konjektürü’nün de doğruluğunu göstermiştir. Söz konusu kanıt Sayılar Teorisi’nin çok gelişkin tekniklerini kullanır.

FERMAT İSPATI BİLİYOR MUYDU?

Bundan emin değiliz. Arithmetica‘ya düştüğü not, bütün diğer çalışmaları gibi, matematikçilerin aklına bir çengel takar. Fakat ispatlanmasına rağmen, bu teoremi Fermat’ın da ispatlayabildiğinden matematikçiler emin değil.

Bu şüphenin sebebi, Fermat’in yaşadığı yıllarda, Wiles’ın ispatında kullandığı yöntemlerin bilinmiyor olması. Fakat yine de matematikçiler emin değiller: Acaba Fermat daha kolay bir çözüm bulmuş olabilir mi? Bu şüpheyi haklı çıkarabilecek bir sebepleri de var:

Şey… Wiles ispatı bulmasına buldu, ama ispat tam 200 sayfacık tutuyor.

İşin aslı Wiles, teoremi çok dolambaçlı yollarla çözmeye çalışır ve adeta kulağını tersten tutar, ama Fermat’ın ispatlayamadığı bir teoremi, diğer bilim adamlarına ispatlatmak için böyle bir oyun oynadığını iddia edenlerin de sesleri yükselir.

Bir bilim adamı düşünün ki, işe yarar bir çok teorem yazar (İki kare teoremi, poligonal numara teoremi, küçük teoremi vs.), fakat bu teoremlerin ispatıyla uğraşmaz. “Ee ne olacak canım?” derseniz, matematikçilere göre çok şey olur, bir teoremi ispatlayan bulmuş sayılır. Onlar da haklıdırlar, yoksa 4 işlem yapan herkes, kendince teorem kurar. Hem sonra, bir delinin attığı taşı, 40 matematikçi çıkaramaz, çıkarsalar da teorem sahibi sayılmaz, teoreme adlarını falan veremezler. Meşhur olmayacaklarsa, teorem ispatlanmış neye yarar?

Fermat’ı da işte bu durum meşhur yapar. Mezar açıp sorgulayamayacaklarından, Fermat’ı teoremleri ispatlamış sayarlar. Her teoremini farklı bilim adamları sonraları ispatlar ama haliyle Fermat gibi sükse yapamazlar.

Televizyon dünyası da Fermat’ın Son Teoremi’ne atıfta bulunur. Simpsonlar’ın bir bölümünde (“Treehouse of Horror VI”) arka planda 1782¹² + 1841¹² = 1922¹² eşitliğinin görüldüğü bir sahne göze çarpar. “Tek” bir sayı ile çift bir sayı toplanınca, sonuç çift olmamalıdır. Eline hesap makinesi geçirenler, bu eşitliğin sağlandığını görünce hepten şaşırır, “Acaba” derler, “Acaba Fermat yanıldı mı?”

Esasında bu senaristlerin minik bir şakasıdır, hesabı tam yapmak için hatasız bir hesap makinesi gerekir, diğerleri küsuratları yuvarlayınca sonuç böyle çıkar. Bir komedi çizgi dizisindeki böyle nükteli espriler ilgilisinin dikkatinden kaçmaz, “Adamlar yapmış abi…” edebiyatına sebep olurlar. Nitekim dizinin senarist kadrosunda profesyonel matematikçiler de vardır ve arada böyle “espriler” yaparak, seviyeli seyirci avlarlar.

Nihayetinde bugün Fermatla ilgili akıllarda hala bir soru işareti vardır. “İspatlarını biliyordu” diyenlere “Öyleyse hani ispatlar?” diyenlerle, “İspatlayamamıştı” diyenlere “Öyleyse neden teoremlerin hepsi doğru?” diyenler halihazırda çatışırlar.

Kimi bilim adamı teoremlerini ispatlamamasını “Sonradan unutulmamak arzusuna” bağlar, “Her bilim adamının hayali budur” diye noktalarlar.

Ne olursa olsun, Fermat’ın teoremleri, matematiğin pek çok bölümüyle doğrudan ilgilidir ve her zaman işe yararlar.